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Oggetto:

Modelli matematici I (con applicazioni alle scienze della natura) (II SEM)

Oggetto:

Mathematical models I (with applications to natural sciences)

Oggetto:

Anno accademico 2021/2022

Codice attività didattica
INT 1460
Docenti
Prof. Paolo Boggiatto (Referente)
Prof. Luigi Rodino
Corso di studio
Corso SSST
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6 (36 ore)
SSD attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Obbligatoria
Tipologia esame
Elaborato e orale
Oggetto:

Sommario del corso

Oggetto:

Obiettivi formativi

Fornire gli strumenti matematici essenziali per poter introdurre, studiare brevemente e analizzare sinteticamente alcuni modelli matematici paradigmatici in vari ambiti applicativi

To provide the essential mathematical tools needed to introduce, briefly study and analyze some relevant mathematical models used in various different applications

Oggetto:

Programma

Modulo 1 - Elementi di base di Matematica

Docenti: Luigi Rodino (10 ore)

Introduzione ai modelli matematici.
Alcuni esempi: la teoria gravitazionale di Newton ed il problema degli n-corpi; modelli della fluidodinamica. Problematica discreto/continuo, lineare/nonlineare, deterministico/probabilistico. La misura delle grandezze: razionali e numeri-macchina; la struttura dei numeri reali.
Le funzioni. Funzioni sperimentali.
Funzioni “ideali”: esponenziale, seno e coseno.
La formula di Eulero. Rapporto incrementale e derivata. La derivata delle funzioni ideali: derivata di esponenziale, seno e coseno. Tasso di crescita.
Modelli con tasso di crescita costante: 1) formula dell’interesse composto 2)decadimento della concentrazione di un medicamento nel sangue 3) evoluzione Malthusiana di una popolazione (complessive 5 ore).
L’integrale definito; significato geometrico e fisico. Il teorema fondamentale del calcolo
Integrale. Integrali indefiniti. Integrali di esponenziale, seno, coseno.
Serie numeriche: la serie geometrica e la serie armonica. Serie di funzioni.
Sviluppi in serie di funzioni: 1) la serie di Taylor, dimostrazione della formula di Eulero 2) la serie di Fourier; applicazioni alla Teoria dei Segnali.
Risoluzione delle equazioni differenziali del primo ordine lineari ed a variabili separabili. Risoluzione delle equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e nonomogenee.
L’oscillatore armonico. Il fenomeno della risonanza. Cenni sull’oscillatore armonico quantistico (complessive 5 ore).

 

Modulo 2 - Paradigmi di modelli e applicazioni alle
Scienze della Natura

Docenti: Paolo Boggiatto (26 ore)

Generalità e tipologie di modelli. Modelli algebrici: equazioni e sistemi lineari.
Equazioni e sistemi non lineari. La retta e la parabola come modelli elementari in semplici casi fisici. Il moto dei proiettili.
Sistemi non lineari iterativi: verso i frattali. (10 ore)

Modelli differenziali.
Equazioni differenziali del secondo ordine. Il modello della Meccanica del
punto: F = ma. Caso delle forze elastiche e l’oscillatore armonico. Gravità locale e caduta dei gravi, legge di gravitazione universale e leggi di Keplero. Equazioni e sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di base. (10 ore)

Modelli matematici in epidemiologia: modelli SIR, SIS, SIRS.
Modelli di crescita di popolazioni: modello di Malthus, Verhulst
Specie conviventi: Il modello preda-predatore e le equazioni di Lotka‐Volterra. (5 ore)

Modelli per la teoria dei segnali basati sull’uso della trasformata di Fourier e sue variazioni: trasformate tempo-frequenza (Gabor, Wigner, classe di Cohen). Principi di indeterminazione nella teoria dei segnali. (5 ore)

 

 

Module 1 - Elements of basic mathematics 

Teaching staff: Luigi Rodino (9 hours)

An introduction to the mathematical models. Some examples: the Newtonian gravitation model and the n-bodies problem; the models of the fluid dynamics.
Interplay discrete/continuous, linear/non-linear, deterministic/probabilistic. Measure of magnitudes: rational and computer numbers; the structure of the real numbers.
The functions. Functions from experiments. The “ideal” functions: exponential, sinus and cosinus. Rate of change and derivative. The derivative of the ideal functions; derivative of exponential, sinus and cosinus.
Models with constant rate of change: 1) formula for the composed interest 2) decay of the concentration of a drug in the blood 3) Malthusian evolution of a population.(5hours).
The definite integral; geometric and kinematic meaning. The fundamental theorem of the integral calculus. Anti-derivatives. Anti-derivative of exponential, sinus and cosinus.
Numerical series: the geometric series, the harmonic series. Series of functions. Expansions in series of functions: 1) Taylor series and proof of the Euler formula 2) Fourier series; applications to the Theory of Signals.
Solutions of first order linear differential equations. Solution by separation of variables. Linear second order differential equations with constant coefficients: the homogeneous and the non-homogeneous case.
The harmonic oscillator. Resonance phenomena. Hints to the harmonic oscillator of the Quantum Mechanics. (5hours).

 

Module 2 -  Key models 

Teaching staff: Paolo Boggiatto (27 hours)

Basic ideas, generalities, methodology, types of models. Linear and non-linear algebraic models. The straight line and the parabola as elementary models for simple physical cases. The ballistic problem and the motion of a bullet. Non-linear iterative systems: Toward fractals. (10 hours)

Differential models. 2° order Equations. The model for a mass point motion: F=ma. Elastic forces and the linear oscillator. Local gravity and the motion of a heavy point. Gravitational law and the Kepler laws. First order differential equations and systems. Basic examples. (10 hours)

Mathematical models in epidemiology: SIR, SIS, SRS models.
Models of population growth: Malthus, Verhulst.
Interacting specie. Prey-predator
Model and Lotka‐Volterra equations. (5 hours)

Models for signal theory based on the Fourier transform and its variations: time-frequency transforms (Gabor, Wigner, Cohen class). Uncertainty principles in signal theory. (5 hours)

 

 

 

 

 

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Il corso è diviso in due parte, una di carattere introduttivo con gli elementi di base di matematica, l’altra con l’introduzione e lo studio di alcuni modelli matematici. Alcune lezioni hanno carattere seminariale.

The course is split in two parts. First the basic introductory elements of mathematics are introduced, hence some mathematical models are proposed and studied. Some lessons have the structure of a seminar.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

Svolgimento di una tesina e breve prova Orale

Writing a short essay and a brief oral proof

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

- Giorgio Israel, Modelli matematici. Introduzione alla matematica applicata, 2009, Muzio
- Appunti dei docenti



Registrazione
  • Chiusa
    Apertura registrazione
    10/01/2022 alle ore 00:00
    Chiusura registrazione
    21/02/2022 alle ore 23:55
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 22/11/2021 09:36
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