Modelli matematici I (con applicazione alle Scienze della Natura)

 

Mathematical models I

 

Anno accademico 2018/2019

Codice attività didattica
INT1168
Docenti
Corso di studio
Corso SSST
Anno
1° anno, 2° anno, 3° anno, 4° anno, 5° anno
Tipologia
A scelta dello studente
Crediti/Valenza
5 (40 ore)
SSD attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano o Inglese
Frequenza
Obbligatoria
Tipologia esame
Elaborato e orale
Prerequisiti
PREREQUISITI:
il corso si rivolge, oltre che a studenti delle Lauree Scientifiche anche a quelli delle Lauree Umanistiche. I requisiti richiesti sono dunque minimi: la matematica elementare che viene insegnata nelle scuole elementari e medie e l'intersezione dei programmi delle varie scuole secondarie superiori. In particolare numeri reali e funzioni elementari (funzioni lineari, esponenziali e trigonometriche) vengono ridefiniti a lezione, così come il concetto fondamentale di derivata.
Gli studenti sono tuttavia invitati a una lettura dei testi di introduzione al pensiero matematico indicati in bibliografia.
Elemento fondamentale per la partecipazione con successo al corso è la disponibilità ad affrontare con spirito di razionalità le problematiche sia di tipo scientifico che umanistico (letterario, giuridico, sociale). L’enfasi del corso sarà infatti rivolta più agli aspetti qualitativi che a quelli calcolativi della modellistica matematica.

  • english

PREREQUISITES:
the course is addressed both to students in science and humanities. The prerequisites are therefore minimal: the mathematics taught at elementary and middle school and the common part of the mathematics programs of the different types of high schools. In particular real numbers and elementary functions (linear, exponential, and trigonometric functions), as well as the fundamental notion of derivative, are redefined during the lectures.
Nevertheless the students are invited to read the introductory texts to mathematical thinking which are listed in the bibliography.
Fundamental element for a successful participation in the course is the will to approach in a rational way both the scientific and humanistic issues including literature, law, and social topics. In fact the course will be focused more on the qualitative than the calculative aspects of the mathematical modelling.

 
 

Obiettivi formativi

Fornire gli strumenti matematici essenziali per poter introdurre, studiare brevemente e analizzare sinteticamente alcuni modelli matematici paradigmatici in vari ambiti applicativi

  • English

To provide the essential mathematical tools needed to introduce, briefly study and analyze some relevant mathematical models used in various different applications

 

 

Risultati dell'apprendimento attesi

Ci si aspetta che gli studenti, attraverso i vari esempi presentati nel corso, acquisiscano lo spirito della moderna modellizzazione matematica nelle scienze applicate.

  • english

We aspect that the students, by means of the various examples presented throughout the course, will acquire the spirit of modern mathematical modelling in applied sciences.

 

Programma

Modulo 1 - Elementi di base di matematica (20 ore)

Docenti: Luigi Rodino

Programma: 

Introduzione ai modelli matematici.
Alcuni esempi: la teoria gravitazionale di Newton ed il problema degli n-corpi; modelli della fluidodinamica.
Problematica discreto/continuo, lineare/nonlineare, deterministico/probabilistico.
La misura delle grandezze: razionali e numeri-macchina; la struttura dei numeri reali (complessive 5 ore).
Le funzioni. Funzioni sperimentali. Funzioni “ideali”: esponenziale, seno e coseno. La formula di Eulero. Rapporto incrementale e derivata. La derivata delle funzioni ideali: derivata di esponenziale, seno e coseno.
Tasso di crescita. Modelli con tasso di crescita costante: 1) formula dell’interesse composto 2)decadimento della concentrazione di un medicamento nel sangue 3) evoluzione Malthusiana di una popolazione (complessive 5 ore).
L’integrale definito; significato geometrico e fisico. Il teorema fondamentale del calcolo Integrale. Integrali indefiniti. Integrali di esponenziale, seno, coseno.

Modulo 2 - Paradigmi di modelli e applicazioni alle Scienze della Natura (20 ore)

Docenti: Paolo Boggiatto

Programma

Generalità e tipologie di modelli. Modelli algebrici: equazioni e sistemi lineari. Equazioni e sistemi non lineari. La retta e la parabola come modelli elementari in semplici casi fisici. Il moto dei proiettili. Sistemi non lineari iterativi: verso i frattali. (5 ore)
Modelli di equazioni differenziali. Equazioni differenziali del secondo ordine. Il modello della Meccanica del punto: F = ma. Caso delle forze elastiche e l’oscillatore armonico. Gravità locale e caduta dei gravi, legge di gravitazione universale e leggi di Keplero. Equazioni e sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Alcune generalità. Esempi semplici: la penetrazione del cesio nel suolo, cicli geochimici, il ciclo del carbonio. (5 ore)
Modelli matematici in epidemiologia. La diffusione dell’influenza. Le malattie esantematiche. Modelli ispirati al gioco LIFE. Modelli di crescita di popolazioni. (5 ore) Specie conviventi. Il modello preda predatore e le equazioni di Lotka‐ Volterra. Analisi più approfondita del modello. Modelli in politica, economia, criminologia, medicina, ortodonzia con l’uso delle serie di Fourier). Modelli e simulazioni. (5 ore)

  • English

Module 1 - Elements of basic mathematics

Teaching staff: Luigi Rodino

Program: 

An introduction to the mathematical models. Some examples: the Newtonian gravitation model and the n-bodies problem; the models of the fluid dynamics.

Interplay discrete/continuous, linear/non-linear, deterministic/probabilistic. Measure of magnitudes: rational and computer numbers; the structure of the real numbers. (5 hours).

The functions. Functions from experiments. The “ideal” functions: exponential, sinus and cosinus. Rate of change and derivative. The derivative of the ideal functions; derivative of exponential, sinus and cosinus.

Models with constant rate of change: 1) formula for the composed interest 2) decay of the concentration of a drug in the blood 3) Malthusian evolution of a population.(5hours).

The definite integral; geometric and kinematic meaning. The fundamental theorem of the integral calculus. Anti-derivatives. Anti-derivative of exponential, sinus and cosinus.

Numerical series: the geometric series, the harmonic series. Series of functions. Expansions in series of functions: 1) Taylor series and proof of the Euler formula 2) Fourier series; applications to the Theory of Signals. (5 hours).

Solutions of first order linear differential equations. Solution by separation of variables. Linear second order differential equations with constant coefficients: the homogeneous and the non-homogeneous case.

The harmonic oscillator. Resonance phenomena. Hints to the harmonic oscillator of the Quantum Mechanics. (5 hours).

 

Module 2 -  Key models

Teaching staff: Paolo Boggiatto

Program: 

Basic ideas, generalities, methodology, types of models. Linear and non-linear algebraic models. The straight line and the parabola as elementary models for simple physical cases. The ballistic problem and the motion of a bullet. Non-linear iterative systems: Toward fractals. (5 hours)

Differential  models. 2° order Equations. The model for a mass point motion: F=ma. Elastic forces and the linear oscillator. Local gravity and the motion of a heavy point. Gravitational law and the Kepler laws. First order differential equations and systems. Basic examples. (5 hours)

Mathematical models in epidemiology: SIR, SIS, SRS models.

Models of population growth:  Malthus, Verhulst.

Interacting specie. Prey-predator

Model and Lotka‐Volterra equations. (5 hours)

Models for signal theory which are based on the Fourier transform and ist variations: time-frequency transorms (Gabor, Wigner, Cohen class). Uncertainty principles in signal theory. (5 hours)

 

 

 

Modalità di insegnamento

Il corso è diviso in due parte, una di carattere introduttivo con gli elementi di base di matematica, l’altra con l’introduzione e lo studio di alcuni modelli matematici. Alcune lezioni hanno carattere seminariale.

  • English

The course is split in two parts. First the basic introductory elements  of mathematics are introduced, hence some mathematical models are proposed and studied. Some lessons have the structure of a seminar.

 

 

Modalità di verifica dell'apprendimento

Svolgimento di una tesina e breve prova orale

  • English

Writing a short essay and a brief oral proof.

 

 

 

Testi consigliati e bibliografia

- Giorgio Israel, Modelli matematici. Introduzione alla matematica applicata, 2009, Muzio

- Appunti dei docenti

- Giovanni Malafarina, Matematica per i precorsi, 2010, McGraw-Hill

 

Registrazione
  • Aperta
     
    Ultimo aggiornamento: 13/03/2019 16:28
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